- Конечное расширение
-
Коне́чное расшире́ние - расширение поля , такое, что E конечномерно над K как векторное пространство. Размерность векторного пространства E над K называется степенью расширения и обозначается [E:K].
Свойства конечных расширений
Конечное расширение всегда алгебраично. В самом деле пусть [E:K]=n, так как для любого элемента n+1 элемент 1,α,α2,...αn не может быть линейно независимым, значит существует многочлен над K степени не выше n, такой, что α является его корнем.
Простое алгебраическое расширение E=K(α) является конечным. Если неприводимый многочлен α над K имеет степень n, то [E:K]=n
В башне полей , поле F конечно над K тогда и только тогда, когда F конечно над E и E конечно над K. Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если e1,...en - базис E над K и f1,...fm - базис F над E то f1e1, f1e2,... f1en, f2e1,...fme1,...fmen - базис F над K, отсюда [F:E][E:K]=[F:K]
Конечное расширение E является конечно порождённым. В качестве порождающих элементов можно взять элементы любого базиса E=K(e1,...en). Обратно, любое конечно порождённое алгебраическое расширение является конечным. В самом деле, K(α1,α2,...αn)=K(α1)(α2)...(αn). Элементы αi будучи алгебраическими над K остаются таковыми и над бо́льшим полем K(α1)...(αi-1). Далее применяем теоремы о конечности простых алгебраических расширений и башне конечных расширений.
Если конечно, то для любого расширения то, (если F и E содержатся в каком-нибудь поле) композит полей EF является конечным расширением F)
Литература
- Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
- Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
Категория:- Теория полей
Wikimedia Foundation. 2010.